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飼い主には、ペットがその命を終えるまで適正に飼養する「終生飼養」の責務があります。どうしても飼えなくなった場合や、飼い主が先に亡くなった場合でも、ペットが安全に安心して暮らせる環境を用意してあげることが飼い主の努めです。
※飼えなくなったからといってペットを捨てる(遺棄する)ことは犯罪です。違反すると、懲役刑や罰金刑に処せられます。

動物の愛護及び管理に関する法律(抜粋)

(動物の所有者又は占有者の責務等)
第7条第4項 動物の所有者は、その所有する動物の飼養又は保管の目的等を達する上で支障を及ぼさない範囲で、できる限り、当該動物がその命を終えるまで適切に飼養すること(以下「終生飼養」という。)に努めなければならない。

(罰則)
第44条第3項 愛護動物を遺棄した者は、一年以下の懲役又は百万円以下の罰金に処する。

神奈川県動物の愛護及び管理に関する条例(抜粋)

(飼養者の責務)
第5条第4項 動物の所有者は、動物を終生飼養するよう努めるとともに、動物を飼養することができなくなつた場合には、自らの責任において新たな飼養者を見つけるよう努めなければならない。